Pré-calcul Exemples

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (w) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= \sqrt{4 - 3}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

Adjacent $= \sqrt{4 - 3}$

Étape 4.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

Adjacent $= \sqrt{1}$

Étape 4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

Adjacent $= 1$

Étape 5

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (w)$ .

$\sin (w) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 6

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Développez $\sin (\frac{w}{2})$ en $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

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Étape 7.1

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Étape 7.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Étape 7.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Étape 8

Utilisez la définition de $c o s$ pour déterminer la valeur de $\cos (w)$ . Dans ce cas, $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Étape 9

Remplacez les valeurs dans $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Étape 10.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 10.4

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 10.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Étape 10.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$