Pré-calcul Exemples

$\cos (x) = \frac{3}{5}$ , $\cos (2 x)$

Étape 1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (x) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = \sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 9}$

Étape 4.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

Opposé $= \sqrt{16}$

Étape 4.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

Opposé $= \sqrt{4^{2}}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Opposé $= 4$

Étape 5

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 6

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Étape 7

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Étape 8

Utilisez la définition de $c o s$ pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ . Dans ce cas, $\cos (x) = \frac{3}{5}$ .

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Étape 9

Remplacez les valeurs dans $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1$

Étape 10

Évaluez $2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1$ pour déterminer $\cos (2 x)$ .

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{5}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{3^{2}}{5^{2}}) - 1$

Étape 10.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{9}{5^{2}}) - 1$

Étape 10.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{9}{25}) - 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2 (\frac{9}{25})$ .

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Étape 10.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{9}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 9}{25} - 1$

Étape 10.1.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} - 1$

Étape 10.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} - 1 \cdot \frac{25}{25}$

Étape 10.3

Associez $- 1$ et $\frac{25}{25}$ .

$\cos (2 x) = \frac{18}{25} + \frac{- 1 \cdot 25}{25}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (2 x) = \frac{18 - 1 \cdot 25}{25}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\cos (2 x) = \frac{18 - 25}{25}$

Étape 10.5.2

Soustrayez $25$ de $18$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 7}{25}$

Étape 10.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 x) = - \frac{7}{25}$