Pré-calcul Exemples

$(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$ et $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Opposé : $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Adjacent : $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{5}{2^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Étape 2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{20}{25}}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $20$ et $25$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 (4)}{25}}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{5}{4} + \frac{4}{5}}$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{5}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}}$

Étape 2.8

Pour écrire $\frac{4}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.9.3

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4}}$

Étape 2.9.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{4 \cdot 4}{20}}$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 4 \cdot 4}{20}}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{25 + 4 \cdot 4}{20}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{25 + 16}{20}}$

Étape 2.11.3

Additionnez $25$ et $16$ .

$\sqrt{\frac{41}{20}}$

Étape 2.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{41}{20}}$ comme $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{20}}$

Étape 2.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.13.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{4 (5)}}$

Étape 2.13.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Étape 2.13.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 2.14

Multipliez $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 2.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1

Multipliez $\frac{\sqrt{41}}{2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 2.15.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 2.15.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Étape 2.15.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Étape 2.15.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 2.15.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.15.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.15.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.15.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.15.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Étape 2.15.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{41} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 2.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.16.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{41 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 2.16.2

Multipliez $41$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{205}}{2 \cdot 5}$

Étape 2.17

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{205}}{10}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{205}}{10}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{205}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{205}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{205}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{5} (\frac{2}{\sqrt{205}})$

Étape 4.3

Associez $\frac{2}{\sqrt{205}}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (θ) = \frac{4}{\sqrt{205}} \cdot \sqrt{5}$

Étape 4.5

Associez $\frac{4}{\sqrt{205}}$ et $\sqrt{5}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{205}}$

Étape 4.6

Associez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{205}$ en un radical unique.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5}{205}}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $5$ et $205$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 (1)}{205}}$

Étape 4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $205$ .

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 41}}$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 4 \sqrt{\frac{1}{41}}$

Étape 4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{41}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{41}})$

Étape 4.9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}})$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{1}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}})$

Étape 4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Étape 4.11.2

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Étape 4.11.3

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}})$

Étape 4.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}})$

Étape 4.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}})$

Étape 4.11.6

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 4.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

Étape 4.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = 4 (\frac{\sqrt{41}}{41})$

Étape 4.12

Associez $4$ et $\frac{\sqrt{41}}{41}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{4 \sqrt{41}}{41} \approx 0.62469504$