Pré-calcul Exemples

$1 = \frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{4} + 81, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{4} + 81, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{4} + 81$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ par $x^{4} + 81$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} = 1$ par $x^{4} + 81$ .

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4} + 81$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 x^{2}}{x^{4} + 81} (x^{4} + 81) = 1 (x^{4} + 81)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$18 x^{2} = 1 (x^{4} + 81)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $x^{4} + 81$ par $1$ .

$18 x^{2} = x^{4} + 81$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} - x^{4} = 81$

Étape 4.2

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} - x^{4} - 81 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $18 x^{2} - x^{4} - 81$ .

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Étape 4.3.1.1

Remettez dans l’ordre $18 x^{2}$ et $- x^{4}$ .

$- x^{4} + 18 x^{2} - 81 = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$- (x^{4}) + 18 x^{2} - 81 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $18 x^{2}$ .

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 81 = 0$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 81$ comme $- 1 (81)$ .

$- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Étape 4.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ .

$- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 \cdot 81 = 0$

Étape 4.3.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (81)$ .

$- (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Étape 4.3.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Étape 4.3.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Étape 4.3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$- (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Étape 4.3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Étape 4.3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 9$ .

$- {(u - 9)}^{2} = 0$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Étape 4.3.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Étape 4.3.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Étape 4.3.8

Factorisez.

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Étape 4.3.8.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

$- ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Étape 4.3.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.5

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.6

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.6.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 3, 3$