Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 x^{4} - 24 x^{3} + 35 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = - 24 x^{3} + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 2

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 24 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 24 x^{3}$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) + 6 x + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 2.2

Factorisez $- 6 x$ à partir de $6 x$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 2.3

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 6 x (4 x^{2}) - 6 x (- 1)$ .

$f (x) = - 6 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 3

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = - 6 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 35 x^{2} - 9$

Étape 6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 35 x^{2} - 9$

Étape 7

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 u - 9$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ et dont la somme est $b = 35$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $35$ à partir de $35 u$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 35 (u) - 9$

Étape 8.1.2

Réécrivez $35$ comme $- 1$ plus $36$

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 36) u - 9$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 36 u - 9$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 9)$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Étape 10

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 9)$

Étape 11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)$

Étape 12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$f (x) = - 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Étape 13

Factorisez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à partir de $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 13.1

Factorisez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à partir de $- 6 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$

Étape 13.2

Factorisez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à partir de $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)$

Étape 14

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)$

Étape 15

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 15.1

Réorganisez les termes.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)$

Étape 15.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})$

Étape 15.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 15.4

Réécrivez le polynôme.

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})$

Étape 15.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(u - 3)}^{2}$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$f (x) = (2 x + 1) (2 x - 1) {(x - 3)}^{2}$