Pré-calcul Exemples

$f (x) = | \frac{1}{2} x - 1 | + 2$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = | \frac{x}{2} - 1 | + 2$ est $(2, 2)$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $\frac{x}{2} - 1$ égal à $0$ . Dans ce cas, $\frac{x}{2} - 1 = 0$ .

$\frac{x}{2} - 1 = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation $\frac{x}{2} - 1 = 0$ pour déterminer la coordonnée $x$ pour le sommet de la valeur absolue.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = 1$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1$

Étape 1.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 1$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = 2$

Étape 1.3

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$y = | \frac{2}{2} - 1 | + 2$

Étape 1.4

Simplifiez $| \frac{2}{2} - 1 | + 2$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Divisez $2$ par $2$ .

$y = | 1 - 1 | + 2$

Étape 1.4.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = | 0 | + 2$

Étape 1.4.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$y = 0 + 2$

Étape 1.4.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$y = 2$

Étape 1.5

Le sommet de la valeur absolue est $(2, 2)$ .

$(2, 2)$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Pour chaque valeur $x$ , il y a une valeur $y$ . Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du sommet de la valeur absolue.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = | \frac{x}{2} - 1 | + 2$ . Dans ce cas, le point est $(0, 3)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = | \frac{0}{2} - 1 | + 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = | 0 - 1 | + 2$

Étape 3.1.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = | - 1 | + 2$

Étape 3.1.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$f (0) = 1 + 2$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (0) = 3$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = | \frac{x}{2} - 1 | + 2$ . Dans ce cas, le point est $(1, \frac{5}{2})$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = | \frac{1}{2} - 1 | + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = | \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} | + 2$

Étape 3.2.2.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = | \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} | + 2$

Étape 3.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = | \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} | + 2$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1) = | \frac{1 - 2}{2} | + 2$

Étape 3.2.2.1.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = | \frac{- 1}{2} | + 2$

Étape 3.2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = | - \frac{1}{2} | + 2$

Étape 3.2.2.1.6

$- \frac{1}{2}$ est d’environ $- 0.5$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{2}$ et retirez la valeur absolue

$f (1) = \frac{1}{2} + 2$

Étape 3.2.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (1) = \frac{1 + 4}{2}$

Étape 3.2.2.5.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (1) = \frac{5}{2}$

Étape 3.2.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $4$ dans $f (x) = | \frac{x}{2} - 1 | + 2$ . Dans ce cas, le point est $(4, 3)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = | \frac{4}{2} - 1 | + 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Divisez $4$ par $2$ .

$f (4) = | 2 - 1 | + 2$

Étape 3.3.2.1.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (4) = | 1 | + 2$

Étape 3.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$f (4) = 1 + 2$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (4) = 3$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 3.4

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(2, 2), (0, 3), (1, 2.5), (3, 2.5), (4, 3)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 2.5 \\ 2 & 2 \\ 3 & 2.5 \\ 4 & 3 \end{array}$

Étape 4