Pré-calcul Exemples

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

Étape 1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 19$ et $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $10$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.1.5

Additionnez $361$ et $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $10$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.1.5

Additionnez $361$ et $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 5.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $10$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.1.4.3

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.1.5

Additionnez $361$ et $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 6.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 6.4.4

Réécrivez $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ comme $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 8

La fonction parent est la forme la plus simple du type de fonction donné.

$y = x^{2}$

Étape 9

Résolvez $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ pour $y$ .

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Étape 9.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

Étape 9.1.2

Ajoutez $5 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

Étape 9.1.3

Ajoutez $10 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

Étape 9.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 9.3

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 19$ et $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1.4.1

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.4.3

Multipliez $10$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.5

Additionnez $361$ et $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 9.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.5.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.4

Simplifiez

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Étape 9.5.1.4.1

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.4.3

Multipliez $10$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.5

Additionnez $361$ et $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.5.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 9.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 9.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 9.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.4

Simplifiez

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Étape 9.6.1.4.1

Multipliez $- 20$ par $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.4.3

Multipliez $10$ par $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.5

Additionnez $361$ et $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Étape 9.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

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Étape 9.6.4.1

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.6.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 9.6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 9.6.4.4

Réécrivez $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ comme $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Étape 9.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 9.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 10

Supposez que $y = x^{2}$ est $f (x) = x^{2}$ et que $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ est $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Étape 11

Les fonctions données sont de types différents. La transformation d’une fonction ne change pas son type. Il est donc impossible de transformer $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

Transformation géométrique impossible

Étape 12