Pré-calcul Exemples

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Étape 1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Étape 2

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Calculez $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Étape 4.2

Additionnez $\frac{2}{9}$ et $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Étape 5

Calculez $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Étape 5.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Étape 5.3

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $9$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Étape 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $\frac{2}{9}$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Étape 6.3.3.2

Divisez $\frac{2}{9}$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Étape 6.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Étape 6.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.1

Évaluez $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Étape 6.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Étape 6.7

Résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Étape 6.7.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Étape 6.7.3

Soustrayez $0.22409309$ de $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Étape 6.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ car $f$ est une fonction continue sur $[0, \frac{π}{2}]$ .

Les racines sur l’intervalle $[0, \frac{π}{2}]$ se situent sur .

Étape 8