Pré-calcul Exemples

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 2 x + 5)$

Étape 1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 2 x + 5)$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- x)) + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x)) + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot 5$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$

Étape 2

Complétez le carré pour $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{2} (1 \cdot 2)$

Étape 2.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 2.3.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Étape 2.3.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 1$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Étape 2.4.2.1.4

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{5 - 1}{4}$

Étape 2.4.2.3

Soustrayez $1$ de $5$ .

$e = \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.4

Divisez $4$ par $4$ .

$e = 1$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 1$

Étape 3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + 1$