Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2 \ln (2)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1}{\ln (2^{2})} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{3 \ln (3)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1.3

Simplifiez $3 \ln (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (3^{3})} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{4 \ln (4)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1.5

Simplifiez $4 \ln (4)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (4^{4})} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1.6

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{5 \ln (5)}$

Étape 1.7

Simplifiez $5 \ln (5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (5^{5})}$

Étape 1.8

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{\ln (4)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{\ln (4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{\ln (27)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$\frac{1}{\ln (4)} \cdot \frac{\ln (27)}{\ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\ln (4) \ln (27)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\ln (4)}$ par $\frac{\ln (27)}{\ln (27)}$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{1}{\ln (27)} \cdot \frac{\ln (4)}{\ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\ln (27)}$ par $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (4) \ln (27)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (4) \ln (27)$ .

$\frac{\ln (27)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{\ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (27) - \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{1}{\ln (256)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (256)}{\ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{\ln (\frac{27}{4})}{\ln (27) \ln (4)}$ par $\frac{\ln (256)}{\ln (256)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{1}{\ln (256)} \cdot \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{\ln (256)}$ par $\frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (27) \ln (4) \ln (256)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 9.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (27) \ln (4) \ln (256)$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) (\ln (27) \ln (4))} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 9.4

Réorganisez les facteurs de $\ln (256) (\ln (27) \ln (4))$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} + \frac{\ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 11

Pour écrire $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)}$

Étape 12

Pour écrire $- \frac{1}{\ln (3125)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)} \cdot \frac{\ln (3125)}{\ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

Étape 13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ par $\frac{\ln (3125)}{\ln (3125)}$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{1}{\ln (3125)} \cdot \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$

Étape 13.2

Multipliez $\frac{1}{\ln (3125)}$ par $\frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

Étape 13.3

Réorganisez les facteurs de $\ln (256) \ln (27) \ln (4) \ln (3125)$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))}$

Étape 13.4

Réorganisez les facteurs de $\ln (3125) (\ln (256) \ln (27) \ln (4))$ .

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)} - \frac{\ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) + \ln (27) \ln (4)) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{27}{4}) \ln (256) \ln (3125) + \ln (27) \ln (4) \ln (3125) - \ln (256) \ln (27) \ln (4)}{\ln (256) \ln (27) \ln (3125) \ln (4)}$

Forme décimale :

$0.47400433 \dots$