Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \log_{y} (p^{3} q^{4}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \log_{y} (p^{3} q^{4})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log_{y} ({(p^{3} q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $p^{3} q^{4}$ .

$\log_{y} ({(p^{3})}^{\frac{1}{2}} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(p^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{3 (\frac{1}{2})} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} {(q^{4})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(q^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{4 (\frac{1}{2})}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2 (2) \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{y} (p^{4} q^{3})$

Étape 1.5

Multipliez $- \frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3})$ .

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Étape 1.5.1

Remettez dans l’ordre $\log_{y} (p^{4} q^{3})$ et $\frac{2}{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - (\frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3}))$

Étape 1.5.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \log_{y} (p^{4} q^{3})$ en déplaçant $\frac{2}{3}$ dans le logarithme.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} ({(p^{4} q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.6

Appliquez la règle de produit à $p^{4} q^{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} ({(p^{4})}^{\frac{2}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.7

Multipliez les exposants dans ${(p^{4})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{4 (\frac{2}{3})} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.7.2

Multipliez $4 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 1.7.2.1

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{4 \cdot 2}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} {(q^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.8

Multipliez les exposants dans ${(q^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{3 (\frac{2}{3})})$

Étape 1.8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{3 (\frac{2}{3})})$

Étape 1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{y} (p^{\frac{3}{2}} q^{2}) - \log_{y} (p^{\frac{8}{3}} q^{2})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{y} (\frac{p^{\frac{3}{2}} q^{2}}{p^{\frac{8}{3}} q^{2}})$

Étape 3

Placez $p^{\frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{8}{3}} q^{2} p^{- \frac{3}{2}}})$

Étape 4

Multipliez $p^{\frac{8}{3}}$ par $p^{- \frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $p^{- \frac{3}{2}}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2}} p^{\frac{8}{3}} q^{2}})$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} + \frac{8}{3}} q^{2}})$

Étape 4.3

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}} q^{2}})$

Étape 4.4

Pour écrire $\frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Étape 4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{2}} q^{2}})$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}} q^{2}})$

Étape 4.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{- \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 3 \cdot 3 + 8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 9 + 8 \cdot 2}{6}} q^{2}})$

Étape 4.7.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{- 9 + 16}{6}} q^{2}})$

Étape 4.7.3

Additionnez $- 9$ et $16$ .

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{7}{6}} q^{2}})$

Étape 5

Annulez le facteur commun.

$\log_{y} (\frac{q^{2}}{p^{\frac{7}{6}} q^{2}})$

Étape 6

Réécrivez l’expression.

$\log_{y} (\frac{1}{p^{\frac{7}{6}}})$