Pré-calcul Exemples

$\frac{\ln (30) - \ln (3)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{30}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $30$ et $3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 (1)})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (\frac{10}{1})}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.1.2.4

Divisez $10$ par $1$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - \ln (1)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) - 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100) + 0} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

Étape 2.2.3

Additionnez $\ln (100)$ et $0$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \cdot \log (9)$

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \ln (9) - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Étape 3

Pour écrire $\ln (9)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (100)} + \frac{\ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Étape 5

Pour écrire $\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - \ln (10) \log (9)$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\ln (100) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{\ln (10) + \ln (9) \ln (100)}{\ln (100)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $\ln (100)$ et $2$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{2 \cdot \ln (100)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Étape 7.3

Simplifiez $2 \cdot \ln (100)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (100)}{\ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\ln (100)}{\ln (100)}$ .

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{2 \ln (100)} - \ln (10) \log (9)$

Étape 7.5

Simplifiez $2 \ln (100)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2}{\ln (100^{2})} - \frac{\ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\ln (10) + \ln (9) \ln (100)) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (10) \cdot 2 + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.2

Multipliez $\ln (10) \cdot 2$ .

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Étape 9.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (10)$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (10) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.2.2

Simplifiez $2 \cdot \ln (10)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9) \ln (100) \cdot 2 - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.3

Simplifiez $2 \ln (9)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (10^{2}) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.4.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{\ln (100) + \ln (9^{2}) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.4.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{\ln (100) + \ln (81) \ln (100) - \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.6

Réécrivez $\ln (81) \ln (100) + \ln (\frac{100}{100})$ en forme factorisée.

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Étape 9.1.6.1

Divisez $100$ par $100$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + \ln (1)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.6.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100) + 0}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.1.6.3

Additionnez $\ln (81) \ln (100)$ et $0$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (100^{2})} - \ln (10) \log (9)$

Étape 9.2

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9)$

Étape 10

Pour écrire $- \ln (10) \log (9)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} - \ln (10) \log (9) \cdot \frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$

Étape 11

Associez $- \ln (10) \log (9)$ et $\frac{\ln (10000)}{\ln (10000)}$ .

$\frac{\ln (81) \ln (100)}{\ln (10000)} + \frac{- \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (81) \ln (100) - \ln (10) \log (9) \ln (10000)}{\ln (10000)}$

Forme décimale :

$0$