Pré-calcul Exemples

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (15) - \ln (3)}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (\frac{15}{3})}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (\frac{3 \cdot 5}{3})}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (\frac{3 \cdot 5}{3 (1)})}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1})}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (\frac{5}{1})}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.1.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (5)}{\ln (75) - \ln (3)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (5)}{\ln (\frac{75}{3})} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.2.2

Divisez $75$ par $3$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (5)}{\ln (25)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (5)}{\ln (5^{2})} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.4

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (5)}{2 \ln (5)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$0.5 + \log (9) + \frac{\ln (5)}{2 \ln (5)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$0.5 + \log (9) + \frac{1}{2} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 3

Pour écrire $0.5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0.5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 4

Associez $0.5$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.5 \cdot 2 + 1}{2} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $0.5$ par $2$ .

$\frac{1 + 1}{2} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 6.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{2} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 7

Divisez $2$ par $2$ .

$1 + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 8

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{\ln (10)}{\ln (10)}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{\ln (10)}{\ln (10)} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{\ln (10)}{\ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (10)} + \log (9) - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 8.4

Écrivez $\log (9)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (10)} + \frac{\log (9)}{1} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 8.5

Multipliez $\frac{\log (9)}{1}$ par $\frac{\ln (10)}{\ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (10)} + \frac{\log (9)}{1} \cdot \frac{\ln (10)}{\ln (10)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 8.6

Multipliez $\frac{\log (9)}{1}$ par $\frac{\ln (10)}{\ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10)}{\ln (10)} + \frac{\log (9) \ln (10)}{\ln (10)} - \frac{\ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (10) + \log (9) \ln (10) - \ln (9)}{\ln (10)}$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (9) \ln (10) + \ln (\frac{10}{9})}{\ln (10)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (9) \ln (10) + \ln (\frac{10}{9})}{\ln (10)}$

Forme décimale :

$1$