Pré-calcul Exemples

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{h}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{1}{x^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + h)}^{3} x^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{{(x + h)}^{3}}$ par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de ${(x + h)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} + \frac{{(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5

Réécrivez $\frac{x^{3} + {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.5.1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = x + h$ .

$\frac{\frac{(x + x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2

Simplifiez

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x (x + h) + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x \cdot x - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - (x \cdot x) - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + {(x + h)}^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + (x + h) (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.5

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x (x + h) + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h (x + h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h)}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.6.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + x h + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.6.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 1.5.2.6.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + h x + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.6.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - x^{2} - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.7

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (0 - x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.8

Soustrayez $x h$ de $0$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (- x h + x^{2} + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.9

Additionnez $- x h$ et $2 h x$ .

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Étape 1.5.2.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} - 1 h x + 2 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.9.2

Additionnez $- 1 h x$ et $2 h x$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + 1 h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 1.5.2.10

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3

Associez.

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2}) \cdot 1}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $2 x + h$ par $1$ .

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$

Étape 4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3} h}$ .

$\frac{(2 x + h) (x^{2} + h x + h^{2})}{x^{3} h {(x + h)}^{3}}$