Pré-calcul Exemples

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez ${(1 - t^{2})}^{2}$ comme $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ .

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2

Développez $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- t^{2}$ par $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.5

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.1.7

Multipliez $t^{4}$ par $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Soustrayez $t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $2 t$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${(1 + t^{2})}^{2}$ comme $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

Étape 5

Développez $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Étape 6.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Étape 6.1.3

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

Étape 6.1.4

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

Étape 6.2

Additionnez $t^{2}$ et $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Étape 8

Additionnez $- 2 t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Étape 9

Additionnez $t^{4}$ et $t^{4}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

Étape 10

Additionnez $2 t^{2}$ et $2 t^{2}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

Étape 11

Réécrivez $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ en forme factorisée.

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{4}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

Étape 11.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 t^{2}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

Étape 11.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

Étape 11.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

Étape 11.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

Étape 11.2

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

Étape 11.3

Laissez $u = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $u$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

Étape 11.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Étape 11.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 11.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 11.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

Étape 11.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 12

Réécrivez $2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ comme ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.1

Remettez dans l’ordre $2$ et ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

Étape 12.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

Étape 13

Extrayez les termes de sous le radical.

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

Étape 14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$