Pré-calcul Exemples

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$

Étape 1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}}$

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Étape 3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}}$

Étape 4

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Étape 5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2}{2} \cdot \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 6.2

Associez.

$- \sqrt{\frac{2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Étape 8

Simplifiez en annulant.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 1 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 1 - \sqrt{2}}}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Étape 11.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 11.3

Simplifiez

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Élevez $2 + \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 12.2

Élevez $2 + \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1} {(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2}}$

Étape 12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1 + 1}}{2}}$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{2}}$

Étape 13

Réécrivez ${(2 + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 14

Développez $(2 + \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{\frac{2 (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 15.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 15.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Étape 15.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Étape 15.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Étape 15.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Étape 15.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 15.3

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16

Annulez le facteur commun à $6 + 4 \sqrt{2}$ et $2$ .

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Étape 16.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 16.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}$

Étape 16.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}$

Étape 16.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Étape 16.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Étape 16.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}$

Étape 16.4.4

Divisez $3 + 2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$- 2.41421356 \dots$