Pré-calcul Exemples

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 2.7

Déterminez le domaine de $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - 2 x = 0$

Étape 2.7.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2} \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 0.8$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0.25)}{1 - 2 \cdot 0.25} \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3} \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 1.2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \geq - 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ comme ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \geq 1$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \geq 0$

Étape 4.3.2

Simplifiez $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.2.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.2.4.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \geq 0$

Étape 4.3.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 4.3.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 4.3.5

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 4.3.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 4.3.7

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.3.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 4.4.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.4.2.3

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.1

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Étape 4.4.2.3.2

Résolvez $1 - 2 x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 4.4.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.4.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.4.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.4.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 4.4.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.4.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Étape 4.4.2.6.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.4.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 4.4.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Étape 4.4.2.6.2.3

Le côté gauche $0.25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.4.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.4.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Étape 4.4.2.6.3.3

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.4.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 4.4.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Étape 4.4.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} + 1 - 2 x}{1 - 2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - 2 x = 0$

Étape 4.4.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 4.4.4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.4.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 4.4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \frac{1}{2})$

Étape 4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \geq - 1$

Étape 4.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.12$

Étape 4.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.12$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \geq - 1$

Étape 4.6.2.3

Le côté gauche $0.56195148$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.38$

Étape 4.6.3.2

Remplacez $x$ par $0.38$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \geq - 1$

Étape 4.6.3.3

Le côté gauche $1.77951304$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 4.6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 4.6.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \geq - 1$

Étape 4.6.4.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 4.6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 4.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$ ou $\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}$

Étape 4.8

Associez les intervalles.

$0 \leq x < \frac{1}{2}$

Étape 5

Définissez l’argument dans $\arcsin (\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}})$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}} \leq 1$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}}^{2} \leq 1^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{2 x}{1 - 2 x}}$ comme ${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 1^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 1^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 x}{1 - 2 x})}^{1} \leq 1^{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1^{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} \leq 1$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \leq 0$

Étape 6.3.2

Simplifiez $\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} - 1 \cdot \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{- (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - (1 - 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (- 2 x)}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.2.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 x}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.2.4.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 x - 1}{1 - 2 x} \leq 0$

Étape 6.3.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 x - 1 = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 6.3.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 6.3.5

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.3.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 6.3.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 6.3.7

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.3.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.3.8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.3.9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x (1 - 2 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x (1 - 2 x) \geq 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 6.4.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4.2.3

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.1

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Étape 6.4.2.3.2

Résolvez $1 - 2 x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 6.4.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.4.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.4.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.4.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (1 - 2 x) \geq 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.4.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Étape 6.4.2.6.1.3

Le côté gauche $- 20$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.4.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 6.4.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Étape 6.4.2.6.2.3

Le côté gauche $0.25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.4.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.4.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Étape 6.4.2.6.3.3

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.4.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 6.4.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Étape 6.4.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{2 x (1 - 2 x)} - 1 + 2 x}{1 - 2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - 2 x = 0$

Étape 6.4.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 6.4.4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.4.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \frac{1}{2})$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (- 2)}{1 - 2 \cdot - 2}} \leq 1$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.12$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0.12$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (0.12)}{1 - 2 \cdot 0.12}} \leq 1$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $0.56195148$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.38$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $0.38$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (0.38)}{1 - 2 \cdot 0.38}} \leq 1$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $1.77951304$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.6.4.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{1 - 2 \cdot 3}} \leq 1$

Étape 6.6.4.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vrai

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq \frac{1}{4}$

Étape 7

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{1 - 2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - 2 x = 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \frac{1}{4}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 \leq x \leq \frac{1}{4}}$

Étape 10