Pré-calcul Exemples

${(\frac{4}{3})}^{1 - x} = 5^{x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x}) = \ln (5^{x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{4}{3})}^{1 - x})$ en déplaçant $1 - x$ hors du logarithme.

$(1 - x) \ln (\frac{4}{3}) = \ln (5^{x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{4}{3})$ comme $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = \ln (5^{x})$

Étape 4

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(1 - x) (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.3

Développez $(1 - x) (\ln (4) - \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (\ln (4) - \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x (\ln (4) - \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $\ln (4)$ par $1$ .

$\ln (4) + 1 (- \ln (3)) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $- \ln (3)$ par $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - x (- \ln (3)) = x \ln (5)$

Étape 5.1.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) - 1 \cdot - 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 5.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + 1 x \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 5.1.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) = x \ln (5)$

Étape 5.2

Soustrayez $x \ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (4) - \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $\ln (4)$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (3) - x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4)$

Étape 5.3.2

Ajoutez $\ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.4

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (4) + x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (4)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.4.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (5)$ .

$x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.4.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (4)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.4.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (4) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (- 1 \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 \ln (4)$ comme $- \ln (4)$ .

$x (- \ln (4) + \ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ par $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)) = - \ln (4) + \ln (3)$ par $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)} + \frac{\ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (4)$ .

$x = \frac{- \ln (4) + \ln (3)}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (4) - 1 (- \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.5

Réécrivez $- (\ln (4) - \ln (3))$ comme $- 1 (\ln (4) - \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (4)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) + \ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- \ln (4) - 1 (- \ln (3)) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (4) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)}$

Étape 5.7.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (4) - \ln (3)) - \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Étape 5.7.3.11

Réécrivez $- (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ comme $- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Étape 5.7.3.12

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 1 (\ln (4) - \ln (3))}{- 1 (\ln (4) - \ln (3) + \ln (5))}$

Étape 5.7.3.13

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (4) - \ln (3)}{\ln (4) - \ln (3) + \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.15164147 \dots$