Pré-calcul Exemples

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Étape 1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{1}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Étape 1.4

Pour écrire $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Étape 1.7

Soustrayez $5 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ par $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ par $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Étape 3.3.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Étape 3.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 3.3.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Étape 3.3.3.2

Multipliez.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Comme $\sin (x)$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $\sin (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $7 \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 9 \sin (x)$ et $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Étape 4.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = - 2$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $\sin (x)$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez $4$ et $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $76$ comme $2^{2} \cdot 19$ .

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Étape 4.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $76$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Étape 4.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Étape 6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Étape 6.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Étape 6.4.3

Soustrayez $1.10430054$ de $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Étape 7.3

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Étape 7.4

Résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Étape 7.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Étape 7.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.59416431$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.59416431 + 2 π$

Étape 7.6.2

Soustrayez $0.59416431$ de $2 π$ .

$5.68902098$

Étape 7.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.68902098$

Étape 7.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , pour tout entier $n$