Pré-calcul Exemples

$2 (7^{2 x}) + 7^{x + 1} = 15$

Étape 1

Réécrivez $7^{x + 1}$ comme $7^{x} \cdot 7^{1}$ .

$2 \cdot 7^{2 x} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Étape 2

Réécrivez $7^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

$2 \cdot {(7^{x})}^{2} + 7^{x} \cdot 7 = 15$

Étape 3

Remplacez $7^{x}$ par $u$ .

$2 u^{2} + u \cdot 7 = 15$

Étape 4

Déplacez $7$ à gauche de $u$ .

$2 u^{2} + 7 u = 15$

Étape 5

Résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + 7 u - 15 = 0$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 u$ .

$2 u^{2} + 7 (u) - 15 = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 3$ plus $10$

$2 u^{2} + (- 3 + 10) u - 15 = 0$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 3 u + 10 u - 15 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 3 u) + 10 u - 15 = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 3) + 5 (2 u - 3) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u + 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 3 = 0$

$u + 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $2 u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $2 u - 3$ égal à $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $2 u - 3 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 3$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 3$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Étape 5.5

Définissez $u + 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $u + 5$ égal à $0$ .

$u + 5 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 5$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 3) (u + 5) = 0$ vraie.

$u = \frac{3}{2}, - 5$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\frac{3}{2}$ dans $u = 7^{x}$ .

$\frac{3}{2} = 7^{x}$

Étape 7

Résolvez $\frac{3}{2} = 7^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $7^{x} = \frac{3}{2}$ .

$7^{x} = \frac{3}{2}$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 7.3

Développez $\ln (7^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ par $\ln (7)$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (7) = \ln (\frac{3}{2})$ par $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $- 5$ dans $u = 7^{x}$ .

$- 5 = 7^{x}$

Étape 9

Résolvez $- 5 = 7^{x}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $7^{x} = - 5$ .

$7^{x} = - 5$

Étape 9.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 5)$

Étape 9.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 5)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9.4

Il n’y a pas de solution pour $7^{x} = - 5$

Aucune solution

Étape 10

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{\ln (7)}$

Forme décimale :

$x = 0.20836784 \dots$