Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Étape 2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x (x^{2}) - 8 x + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Étape 2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 8 x$ .

$- 2 x (x^{2}) - 2 x (4) + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Étape 2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 5 u + 4$

Étape 5

Factorisez $u^{2} + 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u + 1) (u + 4)$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 1)$

Étape 7.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} + 1)$

Étape 8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} + 1)$

Étape 9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 9.1

Réorganisez les termes.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 u + 1)$

Étape 9.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Étape 9.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 9.4

Réécrivez le polynôme.

$(x^{2} + 4) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 9.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 4) {(u - 1)}^{2}$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 4) {(x - 1)}^{2}$