Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$ est indéfinie.

$x = 4$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11 (x) - 4}{x - 4}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $1$ plus $- 12$

$\frac{3 x^{2} + (1 - 12) x - 4}{x - 4}$

Étape 6.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 1 x - 12 x - 4}{x - 4}$

Étape 6.1.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} + x - 12 x - 4}{x - 4}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x^{2} + x) - 12 x - 4}{x - 4}$

Étape 6.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1)}{x - 4}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 1) (x - 4)}{x - 4}$

Étape 6.1.2.2

Divisez $3 x + 1$ par $1$ .

$3 x + 1$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x + 1$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x + 1$

Étape 8