Pré-calcul Exemples

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$

Étape 1

Soustrayez $\sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Étape 2

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Étape 3

Multipliez $- \sec^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

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Étape 4.1.1

Réorganisez les termes.

$\tan^{2} (x) + 1 + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.3.1

Déplacez $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $- \sec^{2} (x)$ à partir de $\sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $- \sec^{2} (x)$ à partir de $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.3.4

Factorisez $- \sec^{2} (x)$ à partir de $- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x))$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot (- 1 + \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.4

Réorganisez les termes.

$- \sec^{2} (x) \cdot (\csc^{2} (x) - 1) + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.6.1

Réécrivez $\sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x)$ comme ${(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ .

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2} + \csc^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.6.2

Remettez dans l’ordre $- {(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ et $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - {(\sec (x) \cot (x))}^{2} = 0$

Étape 4.1.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \csc (x)$ et $b = \sec (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \sec (x) \cot (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Étape 4.1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.8.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.8.1.1.1

Remettez dans l’ordre $\sec (x)$ et $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x) \sec (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Étape 4.1.8.1.1.2

Réécrivez $\sec (x) \cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Étape 4.1.8.1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$(\csc (x) + \frac{1}{\sin (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Étape 4.1.8.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \csc (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Étape 4.1.8.2

Additionnez $\csc (x)$ et $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Étape 4.1.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.8.3.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.8.3.1.1

Remettez dans l’ordre $\sec (x)$ et $\cot (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\cot (x) \sec (x))) = 0$

Étape 4.1.8.3.1.2

Réécrivez $- (\sec (x) \cot (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = 0$

Étape 4.1.8.3.1.3

Annulez les facteurs communs.

$2 \csc (x) (\csc (x) - \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Étape 4.1.8.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - \csc (x)) = 0$

Étape 4.1.8.4

Soustrayez $\csc (x)$ de $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) \cdot 0 = 0$

Étape 4.1.9

Multipliez $2 \csc (x) \cdot 0$ .

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Étape 4.1.9.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$0 \csc (x) = 0$

Étape 4.1.9.2

Multipliez $0$ par $\csc (x)$ .

$0 = 0$

Étape 5

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai