Pré-calcul Exemples

$x^{9} - 25 x^{5} + 144 x = 0$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9} - 25 x^{5} + 144 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9}$ .

$x \cdot x^{8} - 25 x^{5} + 144 x = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 25 x^{5}$ .

$x \cdot x^{8} + x (- 25 x^{4}) + 144 x = 0$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $144 x$ .

$x \cdot x^{8} + x (- 25 x^{4}) + x \cdot 144 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{8} + x (- 25 x^{4})$ .

$x (x^{8} - 25 x^{4}) + x \cdot 144 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{8} - 25 x^{4}) + x \cdot 144$ .

$x (x^{8} - 25 x^{4} + 144) = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 25 x^{4} + 144) = 0$

Étape 3

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$x (u^{2} - 25 u + 144) = 0$

Étape 4

Factorisez $u^{2} - 25 u + 144$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $144$ et dont la somme est $- 25$ .

$- 16, - 9$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 16) (u - 9)) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$x ((x^{4} - 16) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (({(x^{2})}^{2} - 16) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x (({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 9.2

Factorisez.

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Étape 9.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 9.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{4} - 9)) = 0$

Étape 10

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 9)) = 0$

Étape 11

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 12

Factorisez.

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Étape 12.1

Factorisez.

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Étape 12.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3))) = 0$

Étape 12.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3)) = 0$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 13

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 14

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 15

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 15.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 15.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 15.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 15.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 15.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 15.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 15.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 15.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 15.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 15.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 15.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 15.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 15.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 15.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 15.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 16

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 16.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 16.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 17

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 17.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 17.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 18

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 18.1

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 18.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 18.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 18.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 18.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 18.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 18.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 18.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 18.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 18.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 18.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 19

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 19.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 19.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 19.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 19.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 19.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 19.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 19.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 19.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 20

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 i, - 2 i, - 2, 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$