Pré-calcul Exemples

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Étape 6

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 9

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 10

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 12

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Étape 12.2

Résolvez ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 12.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 12.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 12.2.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 12.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 12.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 12.2.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 12.2.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 12.2.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 12.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 12.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 12.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 13

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 13.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 13.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 14

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 14.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 14.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 14.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$