Pré-calcul Exemples

$\sqrt{1 + {(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez ${(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ comme $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ .

$\sqrt{1 + (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 2

Développez $(x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 + x^{3} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} (x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{1 + x^{3} x^{3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{1 + x^{3 + 3} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} (- \frac{1}{4 x^{3}}) - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{1 + x^{6} - x^{3} \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{4 x^{3}} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + x^{6} + x^{3} \cdot - 1 \frac{1}{x^{3} \cdot 4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4 x^{3}}$ dans le numérateur.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4 x^{3}} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{x^{3} \cdot 4} x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- \frac{1}{4 x^{3}} (- \frac{1}{4 x^{3}})$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4 x^{3}} \frac{1}{4 x^{3}}}$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $\frac{1}{4 x^{3}}$ par $1$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3}} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}}$

Étape 3.1.6.3

Multipliez $\frac{1}{4 x^{3}}$ par $\frac{1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 x^{3} (4 x^{3})}}$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3} x^{3}}}$

Étape 3.1.6.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 (x^{3} x^{3})}}$

Étape 3.1.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{3 + 3}}}$

Étape 3.1.6.5.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $- \frac{1}{4}$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + x^{6} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + x^{6} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\sqrt{1 + x^{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{x^{6} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{x^{6} + \frac{2 - 1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 4.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{16 x^{6}} + \frac{1}{2}}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réorganisez les termes.

$\sqrt{x^{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 5.2

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{16 x^{6}}}$

Étape 5.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{16 x^{6}}}$

Étape 5.4

Réécrivez $16 x^{6}$ comme ${(4 x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\frac{1^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ comme ${(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 5.6

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$\frac{1}{2} = 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}}$

Étape 5.7

Réécrivez le polynôme.

$\sqrt{{(x^{3})}^{2} + 2 \cdot x^{3} \cdot \frac{1}{4 x^{3}} + {(\frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 5.8

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x^{3}$ et $b = \frac{1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(x^{3} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 6

Pour écrire $x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(x^{3} \cdot \frac{4 x^{3}}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{4 x^{3}}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3})}{4 x^{3}} + \frac{1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{{(\frac{x^{3} (4 x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3} x^{3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\sqrt{{(\frac{4 (x^{3} x^{3}) + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{{(\frac{4 x^{3 + 3} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 8.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Étape 9.2

Appliquez la règle de produit à $4 x^{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{4^{2} {(x^{3})}^{2}}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 {(x^{3})}^{2}}}$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{3 \cdot 2}}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{16 x^{6}}}$

Étape 11

Réécrivez $16 x^{6}$ comme ${(4 x^{3})}^{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}}$

Étape 12

Réécrivez $\frac{{(4 x^{6} + 1)}^{2}}{{(4 x^{3})}^{2}}$ comme ${(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}})}^{2}}$

Étape 13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 x^{6} + 1}{4 x^{3}}$