Pré-calcul Exemples

$\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Étape 1.3.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (9)$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (9)}{2}$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (9)$ comme $\ln (3^{2})$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{\ln (3^{2})}{2}$

Étape 2.3

Développez $\ln (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x^{2} + 6 x) = \frac{2 \ln (3)}{2}$

Étape 2.4.2

Divisez $\ln (3)$ par $1$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = \ln (3)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} + 6 x = 3$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Étape 4.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Additionnez $36$ et $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 2 \sqrt{3}$

Étape 4.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}, - 3 - 2 \sqrt{3}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) + \ln (x + 6) = \frac{1}{2} \cdot \ln (9)$ vrai.

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3 + 2 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$x = 0.46410161 \dots$