Pré-calcul Exemples

$\csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) - \csc (x) + 1$

Étape 1

Regroupez les termes.

$\csc^{3} (x) + 1 - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\csc^{3} (x) + 1^{3} - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = \csc (x)$ et $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) \cdot 1 + 1^{2}) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1^{2}) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc^{2} (x) - \csc (x)$

Étape 5

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)$

Étape 5.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$

Étape 5.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- \csc (x) - 1)$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc (x) - 1$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x)) - 1)$

Étape 6.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc (x)) - 1 (1)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) (- (\csc (x) + 1))$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + \csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)$

Étape 7

Factorisez le signe négatif.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - (\csc (x) (\csc (x) + 1))$

Étape 8

Supprimez les parenthèses.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc (x) (\csc (x) + 1)$

Étape 9

Factorisez $\csc (x) + 1$ à partir de $(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) - \csc (x) (\csc (x) + 1)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $\csc (x) + 1$ à partir de $- \csc (x) (\csc (x) + 1)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + (\csc (x) + 1) (- \csc (x))$

Étape 9.2

Factorisez $\csc (x) + 1$ à partir de $(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1) + (\csc (x) + 1) (- \csc (x))$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - \csc (x) + 1 - \csc (x))$

Étape 10

Soustrayez $\csc (x)$ de $- \csc (x)$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) + 1 - 2 \csc (x))$

Étape 11

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 11.1

Réorganisez les termes.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \csc (x) + 1)$

Étape 11.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \csc (x) + 1^{2})$

Étape 11.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \csc (x) = 2 \cdot \csc (x) \cdot 1$

Étape 11.4

Réécrivez le polynôme.

$(\csc (x) + 1) (\csc^{2} (x) - 2 \cdot \csc (x) \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 11.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = \csc (x)$ et $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) {(\csc (x) - 1)}^{2}$