Pré-calcul Exemples

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ comme une équation.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + y}$ comme ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Étape 3.5.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.2

Développez $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.2

Multipliez $\sqrt{1 + x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.3

Multipliez $\sqrt{1 + x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.4

Multipliez $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 5.2.3.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{1 + x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{1 + x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ comme $1 + x$ .

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Étape 5.2.3.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.3.3

Additionnez $\sqrt{1 + x}$ et $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Étape 5.2.4.3

Soustrayez $2 \sqrt{1 + x}$ de $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Étape 5.2.4.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 2 x)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.4.1.1

Réorganisez les termes.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Étape 5.3.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Étape 5.3.4.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 5.3.4.1.4

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Étape 5.3.4.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Étape 5.3.5.2

Remettez dans l’ordre $2$ et $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$