Pré-calcul Exemples

$\frac{5 + i}{5 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5 + i}{5 - i}$ par le conjugué de $5 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{5 + i}{5 - i} \cdot \frac{5 + i}{5 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(5 + i) (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(5 + i) (5 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 + i) + i (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 i + i (5 + i)}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 5 + 5 i + i \cdot 5 + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25 + 5 i + i \cdot 5 + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 \cdot i + i i}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1} i}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1} i^{1}}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{1 + 1}}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i + i^{2}}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{25 + 5 i + 5 i - 1}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\frac{24 + 5 i + 5 i}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $5 i$ et $5 i$ .

$\frac{24 + 10 i}{(5 - i) (5 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(5 - i) (5 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 + 10 i}{5 (5 + i) - i (5 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 + 10 i}{5 \cdot 5 + 5 i - i (5 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 + 10 i}{5 \cdot 5 + 5 i - i \cdot 5 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - i \cdot 5 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 5 i - 5 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $5 i$ de $5 i$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{24 + 10 i}{25 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $25$ et $1$ .

$\frac{24 + 10 i}{26}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $24 + 10 i$ et $26$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{2 (12) + 10 i}{26}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $10 i$ .

$\frac{2 (12) + 2 (5 i)}{26}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (12) + 2 (5 i)$ .

$\frac{2 (12 + 5 i)}{26}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\frac{2 (12 + 5 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (12 + 5 i)}{2 \cdot 13}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 + 5 i}{13}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{12 + 5 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{12}{13} + \frac{5 i}{13}$