Pré-calcul Exemples

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{x^{2} + 5 x - 6}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 5 x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $5$ .

$- 1, 6$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 2}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2}{x + 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 6)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 2}{x - 1}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2}{x + 6} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{x + 6}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1)}{(x + 6) (x - 1)} - \frac{14}{(x - 1) (x + 6)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Développez $(x + 2) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 6) + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 (x + 6) - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 6 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 2 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $6 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 (x - 1) - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x - 2 \cdot - 1 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 12 - 2 x + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 x$ de $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 12 + 2 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.2

Additionnez $12$ et $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 14 - 14}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 6 x + 14 - 14$ .

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Étape 7.3.1

Soustrayez $14$ de $14$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 0}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.3.2

Additionnez $x^{2} + 6 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 6 x$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.2

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)}$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{x - 1}$