Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + x - 6$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{2} + x - 6$ comme une équation.

$y = 2 x^{2} + x - 6$

Étape 2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} + x - 6 = y$

Étape 3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + x = y + 6$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0 = y + 6$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{8}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = y + 6$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $\frac{1}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 + \frac{1}{8}$

Étape 5.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 5.3

Associez $6$ et $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 8 + 1}{8}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $6$ par $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{48 + 1}{8}$

Étape 5.5.2

Additionnez $48$ et $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} = y + \frac{49}{8}$ par $2$ .

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x + \frac{1}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ par $1$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{\frac{49}{8}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $\frac{49}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez $\frac{49}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{8 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{49}{16}$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Pour écrire $\frac{y}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Étape 7.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{y}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $8$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 + 49}{16}$

Étape 7.4

Déplacez $8$ à gauche de $y$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{8 y + 49}{16}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y + 49)$