Pré-calcul Exemples

$\log_{5} (x) + \log_{5} (x + 1) = \log_{5} (20)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (x + 1)) = \log_{5} (20)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 1) = \log_{5} (20)$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 1) = \log_{5} (20)$

Étape 1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{5} (x^{2} + x) = \log_{5} (20)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} + x = 20$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (x) + \log_{5} (x + 1) = \log_{5} (20)$ vrai.

$x = 4$