Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + h)}^{- 2} - x^{- 2}}{h}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{- 2}$ comme ${({(x + h)}^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - x^{- 2}}{h}$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{- 2}$ comme ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{h}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + h)}^{- 1}$ et $b = x^{- 1}$ .

$\frac{({(x + h)}^{- 1} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.3

Pour écrire $\frac{1}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.4

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.5.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.7

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - x^{- 1})}{h}$

Étape 1.4.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Étape 1.4.10

Pour écrire $\frac{1}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Étape 1.4.11

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Étape 1.4.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.12.1

Multipliez $\frac{1}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Étape 1.4.12.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Étape 1.4.12.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Étape 1.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.4.14

Réécrivez $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.4.14.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.4.14.3

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.6

Associez les exposants.

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Étape 1.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Étape 1.6.2

Multipliez $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ par $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Étape 1.6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Étape 1.6.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Étape 1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Étape 1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Étape 1.6.7

Élevez $x + h$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Étape 1.6.8

Élevez $x + h$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Étape 1.6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Étape 1.6.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.2

Factorisez $h$ à partir de $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$