Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $720$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 48$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.9.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

Étape 2.9.4.3

Le côté gauche $720$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 4$ ou $x \geq 4$ ou $x = 0$

Étape 2.11

Associez les intervalles.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

Étape 4