Pré-calcul Exemples

$7^{\frac{x}{2}} = 5^{1 - x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (7^{\frac{x}{2}}) = \ln (5^{1 - x})$

Étape 2

Développez $\ln (7^{\frac{x}{2}})$ en déplaçant $\frac{x}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{x}{2} \ln (7) = \ln (5^{1 - x})$

Étape 3

Associez $\frac{x}{2}$ et $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{2} = \ln (5^{1 - x})$

Étape 4

Développez $\ln (5^{1 - x})$ en déplaçant $1 - x$ hors du logarithme.

$\frac{x \ln (7)}{2} = (1 - x) \ln (5)$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x \ln (7)}{2} \cdot 2 = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (7)}{2} \cdot 2 = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \ln (7) = (1 - x) \ln (5) \cdot 2$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(1 - x) \ln (5) \cdot 2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (7) = (1 \ln (5) - x \ln (5)) \cdot 2$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$x \ln (7) = (\ln (5) - x \ln (5)) \cdot 2$

Étape 5.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (7) = \ln (5) \cdot 2 - x \ln (5) \cdot 2$

Étape 5.2.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (5)$ .

$x \ln (7) = 2 \cdot \ln (5) - x \ln (5) \cdot 2$

Étape 5.2.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x \ln (7) = 2 \cdot \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Étape 5.2.2.1.4.3

Remettez dans l’ordre $2 \ln (5)$ et $- 2 x \ln (5)$ .

$x \ln (7) = - 2 x \ln (5) + 2 \ln (5)$

Étape 5.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Ajoutez $2 x \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (7) + 2 x \ln (5) = 2 \ln (5)$

Étape 5.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (7) + 2 x \ln (5)$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (7)$ .

$x (\ln (7)) + 2 x \ln (5) = 2 \ln (5)$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (5)$ .

$x (\ln (7)) + x (2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (7)) + x (2 \ln (5))$ .

$x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$ par $\ln (7) + 2 \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (7) + 2 \ln (5)) = 2 \ln (5)$ par $\ln (7) + 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (7) + 2 \ln (5))}{\ln (7) + 2 \ln (5)} = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7) + 2 \ln (5)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (7) + 2 \ln (5))}{\ln (7) + 2 \ln (5)} = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{2 \ln (5)}{\ln (7) + 2 \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.62323508 \dots$