Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 3 x \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 3 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 3 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 3 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$x (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $10$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 0$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 3, x \geq 0}$

Étape 4