Pré-calcul Exemples

$f (t) = 330 {(1.04)}^{30 t}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$f (t + h) = 330 {(1.04)}^{30 (t + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ .

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - (330 \cdot {1.04}^{30 t})}{h}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $330$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

Étape 4.2

Réécrivez $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.1

Factorisez $330$ à partir de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $330$ à partir de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $330$ à partir de $- 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})}{h}$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $330$ à partir de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})$ .

$\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}$

Étape 4.2.2

Réécrivez ${1.04}^{30 t + 30 h}$ comme ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3}$ .

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {1.04}^{30 t})}{h}$

Étape 4.2.3

Réécrivez ${1.04}^{30 t}$ comme ${({1.04}^{10 t})}^{3}$ .

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {({1.04}^{10 t})}^{3})}{h}$

Étape 4.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {1.04}^{10 t + 10 h}$ et $b = {1.04}^{10 t}$ .

$\frac{330 (({1.04}^{10 t + 10 h} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Réécrivez ${1.04}^{10 t + 10 h}$ comme ${({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2}$ .

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez ${1.04}^{10 t}$ comme ${({1.04}^{5 t})}^{2}$ .

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {({1.04}^{5 t})}^{2}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {1.04}^{5 t + 5 h}$ et $b = {1.04}^{5 t}$ .

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4

Multipliez ${1.04}^{10 t + 10 h}$ par ${1.04}^{10 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.5.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h + 10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Étape 4.2.5.4.2

Additionnez $10 t$ et $10 t$ .

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez les exposants dans ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{(10 t + 10 h) \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{10 t \cdot 2 + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Étape 4.3.2

Multipliez les exposants dans ${({1.04}^{10 t})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{10 t \cdot 2})}{h}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

Étape 5