Pré-calcul Exemples

$12 + 2 e^{- 2 x}$

Étape 1

Écrivez $12 + 2 e^{- 2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 (x + h)}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$ .

$12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

Étape 3.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

$f (x + h) = 12 + 2 e^{- 2 x - 2 h}$

$f (x) = 12 + 2 e^{- 2 x}$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - (12 + 2 e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 1 \cdot 12 - (2 e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 12 - (2 e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{12 + 2 e^{- 2 x - 2 h} - 12 - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Étape 5.4

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} + 0 - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Étape 5.5

Additionnez $2 e^{- 2 x - 2 h}$ et $0$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Étape 5.6

Réécrivez $2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- 2 x - 2 h}$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} - 2 e^{- 2 x}}{h}$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- 2 x}$ .

$\frac{2 e^{- 2 x - 2 h} + 2 (- e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{- 2 x - 2 h} + 2 (- e^{- 2 x})$ .

$\frac{2 (e^{- 2 x - 2 h} - e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5.6.2

Réécrivez $e^{- 2 x - 2 h}$ comme ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{- x - h})}^{2} - e^{- 2 x})}{h}$

Étape 5.6.3

Réécrivez $e^{- 2 x}$ comme ${(e^{- x})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{- x - h})}^{2} - {(e^{- x})}^{2})}{h}$

Étape 5.6.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{- x - h}$ et $b = e^{- x}$ .

$\frac{2 (e^{- x - h} + e^{- x}) (e^{- x - h} - e^{- x})}{h}$

Étape 6