Pré-calcul Exemples

$f (x) = 8 {(\frac{3}{2})}^{x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 8 {(\frac{3}{2})}^{x + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (x + h) = 8 (\frac{3^{x + h}}{2^{x + h}})$

Étape 2.1.2.2

Associez $8$ et $\frac{3^{x + h}}{2^{x + h}}$ .

$f (x + h) = \frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$ .

$\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$

$f (x + h) = \frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}} - (\frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2^{x + h} \cdot 2^{x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{8 \cdot 3^{x + h}}{2^{x + h}}$ par $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{x + h} \cdot 2^{x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $2^{x + h}$ par $2^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{x + h + x}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Étape 4.1.3.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $\frac{8 \cdot 3^{x}}{2^{x}}$ par $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{x} \cdot 2^{h + x}}}{h}$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $2^{x}$ par $2^{h + x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{x + h + x}}}{h}$

Étape 4.1.3.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x} - 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Étape 4.1.5

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x} - 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}$ .

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 3^{x + h} \cdot 2^{x}$ .

$\frac{\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x}) - 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 \cdot 3^{x} \cdot 2^{h + x}$ .

$\frac{\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x}) + 8 (- 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h}}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (3^{x + h} \cdot 2^{x}) + 8 (- 3^{x} \cdot 2^{h + x})$ .

$\frac{\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h}}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x}) \cdot 1}{2^{2 x + h} h}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h} h}$

Étape 4.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{2^{2 x + h} h}$ .

$\frac{8 (3^{x + h} \cdot 2^{x} - 3^{x} \cdot 2^{h + x})}{h \cdot 2^{2 x + h}}$

Étape 5