Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 2}{{(x + h)}^{2} - 2 (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x + h$ à partir de ${(x + h)}^{2} - 2 (x + h)$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $x + h$ à partir de ${(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h) - 2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.2

Factorisez $x + h$ à partir de $- 2 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h) + (x + h) \cdot - 2}$

Étape 2.1.2.1.3

Factorisez $x + h$ à partir de $(x + h) (x + h) + (x + h) \cdot - 2$ .

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h - 2)}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x + h - 2$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{x + h - 2}{(x + h) (x + h - 2)}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{h}{x (x + h)}$ dans le numérateur.

$\frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x (x + h)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x (x + h)}$

Étape 5