Pré-calcul Exemples

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

Étape 1

Écrivez $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ comme une équation.

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $t$ valeurs des deux points.

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ pour $f (1)$ et $f (- 3)$ , en remplaçant $t$ dans la fonction avec la valeur $t$ correspondante.

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ par $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ .

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $1^{2} + 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de ${(- 3)}^{2} + 3$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ dans le numérateur.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez ${(- 3)}^{2} + 3$ à partir de $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.5

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.7

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.9

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.10

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.11

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.12

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.13

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.14

Multipliez $4 (- 5 \cdot - 2)$ .

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Étape 3.4.14.1

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.14.2

Multipliez $4$ par $10$ .

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.4.15

Additionnez $- 72$ et $40$ .

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.4

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.5

Multipliez $4 \cdot 12 \cdot 1$ .

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $48$ par $1$ .

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.7

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.8

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

Étape 3.5.9

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

Étape 3.5.10

Multipliez $4 \cdot 12 (- (- 3))$ .

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Étape 3.5.10.1

Multipliez $4$ par $12$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

Étape 3.5.10.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

Étape 3.5.10.3

Multipliez $48$ par $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 144}$

Étape 3.5.11

Additionnez $48$ et $144$ .

$\frac{- 32}{192}$

Étape 3.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun à $- 32$ et $192$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $32$ à partir de $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{192}$

Étape 3.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1.2.1

Factorisez $32$ à partir de $192$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Étape 3.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Étape 3.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{6}$

Étape 3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6}$