Pré-calcul Exemples

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 x \ln (x)$ comme une équation.

$y = 3 x \ln (x)$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = 3 x \ln (x)$ pour $f (e^{2})$ et $f (1)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.6

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.1.8

Additionnez $6 e^{2}$ et $0$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$