Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ pour $f (3)$ et $f (1)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Divisez $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Étape 3.2.2

Associez.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.9

Multipliez $3 (- 0)$ .

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Étape 3.5.9.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.9.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.5.10

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Étape 3.6.2

Multipliez $3 (- (1))$ .

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Étape 3.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Étape 3.6.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Forme décimale :

$0.47140452 \dots$