Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $[- 4, - \frac{11}{3}]$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{1}{x - 1}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $x$ valeurs des deux points.

$\frac{f (- \frac{11}{3}) - f (- 4)}{(- \frac{11}{3}) - (- 4)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = \frac{1}{x - 1}$ pour $f (- \frac{11}{3})$ et $f (- 4)$ , en remplaçant $x$ dans la fonction avec la valeur $x$ correspondante.

$\frac{(\frac{1}{(- \frac{11}{3}) - 1}) - (\frac{1}{(- 4) - 1})}{(- \frac{11}{3}) - (- 4)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1}}{- \frac{11}{3} - (- 4)}$ par $\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}$ .

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3} \cdot \frac{\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1}}{- \frac{11}{3} - (- 4)}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3} - (- 4))}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $- \frac{11}{3} - 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- \frac{11}{3} - 1$ à partir de $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) ((- 4 - 1) \cdot 3) \frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $- 4 - 1$ .

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Étape 3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{- 4 - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $- 4 - 1$ à partir de $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- 4 - 1) ((- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3) \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- 4 - 1) ((- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3) \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3 \cdot - 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.4.2

Factorisez $3$ à partir de $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{3 \cdot ((- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1)) \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{3 \cdot ((- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1)) \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{- 5 \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 15 + \frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 11 - 3}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.6.2

Soustrayez $3$ de $- 11$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot (3 (- 1))}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot (3 \cdot - 1)}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15 - 14 \cdot - 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.8

Multipliez $- 14$ par $- 1$ .

$\frac{- 15 + 14}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.4.9

Additionnez $- 15$ et $14$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1}{\frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 11 - 3}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.4.2

Soustrayez $3$ de $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 14}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1}{- \frac{14}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.6

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{14}{3} \cdot - 5 \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.7

Multipliez $- \frac{14}{3} \cdot - 5$ .

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Étape 3.5.7.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 (\frac{14}{3}) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.7.2

Associez $5$ et $\frac{14}{3}$ .

$\frac{- 1}{\frac{5 \cdot 14}{3} \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.7.3

Multipliez $5$ par $14$ .

$\frac{- 1}{\frac{70}{3} \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.8

Multipliez $\frac{70}{3} \cdot - 11$ .

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Étape 3.5.8.1

Associez $\frac{70}{3}$ et $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{70 \cdot - 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $70$ par $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.11

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.13.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 11 - 3}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.13.2

Soustrayez $3$ de $- 11$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 14}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} - \frac{14}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.15

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} - \frac{14}{3} \cdot - 5 \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.16

Multipliez $- \frac{14}{3} \cdot - 5$ .

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Étape 3.5.16.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 5 (\frac{14}{3}) \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.16.2

Associez $5$ et $\frac{14}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{5 \cdot 14}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.16.3

Multipliez $5$ par $14$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{70}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.17

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{70}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Étape 3.5.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 70 (- (- 4))}$

Étape 3.5.18

Multipliez $70 (- (- 4))$ .

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Étape 3.5.18.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 70 \cdot 4}$

Étape 3.5.18.2

Multipliez $70$ par $4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 280}$

Étape 3.5.19

Pour écrire $280$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 280 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.5.20

Associez $280$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{280 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.5.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1}{\frac{- 770 + 280 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.5.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.22.1

Multipliez $280$ par $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 770 + 840}{3}}$

Étape 3.5.22.2

Additionnez $- 770$ et $840$ .

$\frac{- 1}{\frac{70}{3}}$

Étape 3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3}{70}$