Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{x + h - 3}{x + h}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{x + h - 3}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{x - 3}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{x + h - 3}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{x - 3}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Développez $(- x + 3) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $h x$ et $0$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $x h$ de $h x$ .

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Étape 4.1.5.9.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.2

Soustrayez $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $- 3 x$ et $0$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $0$ et $3 h$ .

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $3 h$ .

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x (x + h)}$

Étape 5