Pré-calcul Exemples

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ comme une équation.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sqrt[5]{y + 7}$ par $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{y + 7}$ comme ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Étape 3.4.3.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

Étape 3.5

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ est l’inverse de $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ comme $x + 7$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.1.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x + 7$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

Étape 5.3.3

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $\frac{x^{5}}{3125}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $3125$ comme $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ comme ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

Étape 5.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ est l’inverse de $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$