Pré-calcul Exemples

$f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ comme une équation.

$y = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$ .

${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5} = x$

Étape 3.2

Simplifiez ${(\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$\frac{{(y^{\frac{1}{7}})}^{5}}{5^{5}} = x$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{7}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{7} \cdot 5}}{5^{5}} = x$

Étape 3.2.2.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{5^{5}} = x$

Étape 3.2.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = x$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3125$ .

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$3125 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{3125} = 3125 x$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{5}{7}} = 3125 x$

Étape 3.5

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{7}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.1.1.2

Simplifiez

$y = {(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez ${(3125 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3125 x$ .

$y = 3125^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.2.1.1.2

Réécrivez $3125$ comme $5^{5}$ .

$y = {(5^{5})}^{\frac{7}{5}} x^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.2.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 5^{5 (\frac{7}{5})} x^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 5^{7} x^{\frac{7}{5}}$

Étape 3.6.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$y = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$

Étape 5.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5})}^{\frac{7}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5 (\frac{7}{5})}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{7}$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{5^{7}})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Étape 5.2.4.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{5^{7}})$

Étape 5.2.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{5^{7}})$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $78125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = 78125 (\frac{x}{78125})$

Étape 5.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (78125 x^{\frac{7}{5}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(78125 x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $78125 x^{\frac{7}{5}}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{78125^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $78125$ comme $5^{7}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(5^{7})}^{\frac{1}{7}} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5^{7 (\frac{1}{7})} {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 {(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{5}})}^{\frac{1}{7}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.6.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{7}{5} \cdot \frac{1}{7}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.3.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{5 x^{\frac{1}{5}}}{5})}^{5}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Divisez $x^{\frac{1}{5}}$ par $1$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Étape 5.3.4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Étape 5.3.4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (78125 x^{\frac{7}{5}}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x^{\frac{1}{7}}}{5})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 78125 x^{\frac{7}{5}}$