Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 5 x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (x^{2} - 5)}{x^{2} + 1}$

Étape 6.2

Développez $x (x^{2} - 5)$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

Étape 6.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 5$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

Étape 6.8

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

$0$

Étape 6.9

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + \frac{- 6 x}{x^{2} + 1}$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x$

Étape 8