Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{3}$

Étape 2

La somme d’une série $S_{n}$ est calculée avec la formule $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Pour la somme d’une série géométrique infinie $S_{\infty}$ , lorsque $n$ approche de $\infty$ , $1 - r^{n}$ approche de $1$ . Ainsi, $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ approche de $\frac{a}{1 - r}$ .

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Étape 3

Les valeurs $a = \frac{1}{3}$ et $r = \frac{1}{3}$ peuvent être placées dans l’équation $S_{\infty}$ .

$S_{\infty} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 4

Simplifiez l’équation pour déterminer $S_{\infty}$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$S_{\infty} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$S_{\infty} = \frac{1}{2}$